필자는 유튜브 영상을 통해 ‘infinite power tower’라 불리우는 함수 \(f(x)=x^{x^{x^{x^{⋰}}}}\)에 대한 다음과 같은 역설을 제기한바 있다 :
제논의 역설이나 쌍둥이 역설, EPR 역설 등은 역사적으로 매우 중요한 역설들이다. 이들은 말그대로 역설이며 논리적 혹은 실험적으로 틀렸음이 증명되었다. 하지만 누군가가 역설을 제기하고 다른 누군가가 반박하는 과정속에서 해당학문은 크게 발전해왔으며, 학생 입장에서도 대표적인 역설들 속의 모순을 찾아내는 것은 본인의 이해정도를 확인하고 발전 시킬 수 있는 매우 유익하고 효과적인 학습과정이다. 필자 또한 ‘infinite power tower’에 대한 역설을 제기함으로써 청자나 독자들에게 그러한 학습의 기회를 제공하고자 하였다.
그런데 문제를 내고 해답을 정리하는 과정에서, 필자 또한 기존에 알고있었던 것 이외의 매우 흥미롭고 놀라운 내용들을 여럿 발견 할 수 있었다. 따라서, 원래는 ‘문제’와 ‘해답 및 해설’ 두 종류의 영상과 포스팅을 기획 하였으나, 더 세분화 할 필요성을 느끼게 되었다.
이번 포스팅에서는 간략하게 문제에 대한 해답만 전달하고자 한다. 그리고 현재 학습과 연구가 진행 중이기 때문에, 관심이 있으시다면 관련한 주제에 대해서 앞으로 포스팅 될 내용을 블로그 내에서 ‘power tower’라는 키워드로 찾아 보시기를 바란다.
유튜브 영상 댓글에서 많은 분들이 무엇이 오류인지 의견을 주셨는데, 그중 가장 대표적인 오답은 ‘infinite power tower 함수자체가 2나 4의 값을 같지 않으며, \(x\)가 1보다 크면 발산해버린다’는 것이다. 하지만 \(\sqrt{2}\)에 대한 값은 2가 맞다. 단일값으로 수렴하는 구간에 대한 \(f(x)\)의 그래프를 통해 그 사실을 확인 할 수 있다[1] :
\(f(x)\)는 \(e^{1/e} < x\)에서 발산하는데, 그 아래의 영역을 보면 \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{⋰}}}}\)의 값은 4가 아니라 2가 맞고, 양의 실수범위에서 \(x^{x^{x^{x^{⋰}}}}=4\)를 만족하는 \(x\)는 존재하지 않는다.
따라서, \(x^{x^{x^{x^{⋰}}}}=4\)라는 식을 만족하는 \(x\)가 존재하지 않으므로 그것을 이용해서 전개하는 이후의 식들은 틀린것이다. 이것은 마치, \(y=x+2\)와 \(y=x+4\)를 만족하는 \(x\)는 존재하지 않기 때문에 이 둘을 ‘\(x+2=x+4\)’와 같이 두는 것 자체가 틀린 식이며, 따라서 이미 틀린식 양변의 \(x\)를 소거하여 \(2=4\)라고 하는 것 또한 틀린식에서 전개된 틀린결과가 되는것과 같은 이유이다.
[1] 그래프가 왜 이렇게 그려지는 지는 다음의 링크를 참조바란다 : ‘infinite power tower 함수의 그래프를 그려보자’