허수 \(i\)에 대한 tetration 집합 \(\left \{ ^{n}i \right \}\)[1]은, 놀랍게도 어느 한점[2]으로 수렴하는 삼중나선형태를 그린다 :
\(n=1\)부터 시작해서 \(^{n}i\)과 \(^{n+1}i\)를 선분으로 이으면 :
\(n=1\)부터 시작해서 \(^{n}i\)과 \(^{n+3}i\)를 선분으로 이으면 :
실수의 기본단위인 \(1\)에 대한 power tower \(^{n}1\) 값은 모두 \(1\)이다. 그것을 복소평면상에 나타내면 그저 하나의 점으로 나타나고, 별 재미가 없다. 하지만 단지 \(1\)를 허수의 기본단위인 \(i\)로 바꿔주었을 뿐인데 이렇게 흥미로운 형태가 나타날거라곤 … 독자께서도 예상하기 어려우셨겠지만, 필자 또한 마찬가지였다.
필자는 이 ‘허수의 나선’에 대한 영상을 만들면서, 몇가지 의문이 생겼고, 그것들은 여전히 의문으로 남아있다. 필자 또한 언젠가는 그 답을 찾기 위해 고민해볼 생각이지만, 관심이 있으시다면 독자들께서도 한번 생각해보시는 것도 좋을 것 같다.
질문#1 : ‘허수의 나선’은 periodic 한가?
앞서 언급한 영상의 하이라이트는, 수렴지점으로 나선을 무한히 확대하는 마지막 10초이다. 필자는 이 장면을 만드는 과정에서, ‘만약, 계속 확대하다가 어떤 다른 두 frame에서 \(^{n}i\)의 분포가 정확히 동일하다면, 그 두 지점을 시작과 끝으로 하고 무한루프를 돌리면 되지 않을까?’라는 생각을 했다. 하지만 실제로 확대하다보면, 그런 지점이 존재하지 않는것 같다는 사실을 직감하게 된다.
예를들어, \(e^{\frac{\pi}{3}n}\)은 periodic 하다. 즉, 모든 자연수 \(n\)에 대한 \(e^{\frac{\pi}{3}n}\)값을 복소평면상에 찍어도, 그 지점의 갯수는 유한한 것이다. 하지만 \(e^{\sqrt{2}n}\)은 어떤가? 어떠한 \(n\)에 대해서도 \(\sqrt{2}n\)의 값은 \(2\pi\)에 배수가 되지 못하므로 이것은 주기적이지 않다. 즉, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(e^{\sqrt{2}n}\)의 값을 복소평면상에 찍으면 그 점은 결코 원래자리로 돌아오지 못하고, 결국 \(e^{\sqrt{2}n}\)은 복소평면상의 단위원을 가득 체우게 되는 것이다.
이처럼, 아무리 확대해도 삼중나선의 ‘형태’는 동일하지만, 특정 배율만큼 확대 했을때 \(^{n}i\)들의 분포가 처음과 정확히 같아지는 지점이 있냐는 것이 첫번째 질문이다.
질문#2 : ‘허수의 나선’은 어떤 종류의 나선인가?
위키피디아를 찾아보면, 나선에는 다양한 종류들이 있고 그 각각은 서로 다른 형태의 수식으로 나타내어진다 :
 |
 |
| Archimedean spiral \[r = a \varphi\] |
Hyperbolic spiral \[r = a / \varphi\] |
 |
 |
| Littus \[r = a\varphi^{1/2}\] |
Logarithmic spiral \[r = ae^{k\varphi}\] |
‘허수의 나선’은 점들을 어떻게 잇느냐에 따라 서로 다른 나선형태를 보이는데[3] :
이들은 수학적으로 어떤 나선에 해당하며 수식으로는 어떻게 나타내어지나?
질문#3
\(^{n}i\)는 왜 삼중나선형태를 나타내나? 밑을 \(i\)이외의 다른 복소수로 바꾸면 매우 다양하고 복잡한 형태가 나타나는데, 그 저변에는 어떤 원리나 규칙이 숨어있나?
[1] \(^{n}i\)란, 높이가 \(n\)인 - 즉, \(n\)개의 \(i\)로 구성되어있는 power tower (\(i^{i^{^{i^{⋰^{i}}}}}\))를 뜻한다.
[2] \(^{\infty}i = e^{W\left ( -\frac{i\pi}{2} \right )}\), where \(W\) is Lambert \(W\) function
[3] Lynch, Peter. "The Fractal Boundary of the Power Tower Function." Recreational Mathematics Colloqium V, Lisbon, Portugal, 28-31 January 2017. Associacao Ludus, 2017.