나는 최근 tetration에 대한 영상을 만들면서, 지수적 증가와는 달리 tetration적 증가를 시각화하는 것은 의외로 상당한 도전문제란 사실을 알게되었다.
‘지수적 증가’를 시작적으로 표현하는건 전혀 어렵지 않다. 예를들어 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81인데, 이와 같은 수열은 다음과 같은 ‘나무형 도식’을 통해 쉽게 시각화 할 수 있다 :
그렇다면 3에 대한 ‘tetration’은 어떤가? 13 = 3, 23 = 33 = 27, 33 = 327 = 7,625,597,484,987, 43 = 37,625,597,484,987 이다. 다른 경우는 제쳐두고, 밑이 3인 경우만 생각해보자 :
❛ 3을 밑으로 하는 tetration적 증가과정을 어떻게 시각화 할 수 있는가? ❜
처음 언급했던 영상의 기획과정에서 나는, ‘tetration을 적용 할 수 있는 물리현상이 무엇이 있을지’에 대해 생각해 보았다. 그런 사례는 찾기가 꽤나 힘들었는데, 어떻게든 쥐어짜내다보니 ‘다세계 해석 Many-world interpretation’이 가능 할 수 있단 생각해 도달했다.
우리 우주는 빅뱅 직후 ‘inflation epoch’라 불뤼는 지수함수적 팽창과정을 거쳤다. 그리고 ‘다세계 해석’에서는 양자역학적 결맞음이 깨질때마다 — 보다 직관적으로 표현하자면, 측정이 일어날때마다 우주가 분기된다고 한다. 그렇게 나는 ‘만약 우주자체가 지수함수적으로 증가하고 또 그 우주가 지수함수적으로 분기된다면, 그것은 ‘지수함수의 반복’ 이므로 그렇게 분기된 모든 우주의 수는 tetration으로 기술 할 수 있지 않을까? ’라는 생각에 닿았던 것이다. 그 외에도 다른 여러가지 아이디어가 있었는데, 결국 다세계 해석은 영상에 들어가지 못했다. 하지만 그런 생각의 흐름 속에서 나는, ‘tetration적 증가’를 시각화 하는것이 의외로 매우 어렵다는걸 알게되었다.
다시 질문으로 돌아가서, 밑이 3인경우의 tetration 적 증가 : 13 → 23 → 33 → 43 → … 을 어떻게 시각 화 할 수 있는가? 나는 덧셈 → 곱셈 → 지수연산에 대한 시각화를 기준삼아 그것을 tetration까지 확장시켜보려 했지만 모두 실패했다. 그리고 지금도 마땅한 아이디어가 없다.
국어든 수학이든, 언어는 매우 중요하다 — 수학개념은 수학기호와 긴밀한 상호작용 속에서 발전하는 것이다. ‘도식’ 또한 무언가를 이해하기 위한 보다 원시적/직관적 형태의 언어이다. 우리가 ‘tetration적 증가’를 도식화 할 수 있다면, 그것을 보다 더 깊이 이해 할 수 있을것이라 기대한다. 혹시 궁금증과 도전의식이 생긴다면, 독자분들께서도 이 문제를 어떻게 해결 할 수 있을지 생각해보시기 바란다.
∷