타원방정식의 극좌표 표현

이차곡선에 대한 계산은 항상 지저분하다. 나는 직교좌표로 나타낸 타원방정식 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)과 극좌표 방정식 \( r=\frac{l}{1+e \cos{\theta}} \)간의 전환이 머릿속에서 다소 흐릿하다 느꼈는데, 이번 포스팅에서 정확한 계산을 통해 한번 정리해보려한다. 타원을 다루므로, \(e\)의 값은 \(0\) 보다 크고 \(+1\) 보다 작은 실수이다.

극좌표에서 직교좌표로의 전환을 통해 위 두 표현이 타원방정식에 대한 서로 다른 표현이란것을 확인해보자. \(r = \sqrt{x^2+y^2}\) 이고 \( \cos{\theta} = \frac{x}{r} \)이므로, 극좌표 변수를 직교좌표 변수로 치환하면 : $$ r=\frac{l}{1+e \cos{\theta}} \rightarrow \sqrt{x^2+y^2} = \frac{l}{1+e \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} } $$

우변의 분모를 양변에 곱해주면 : $$ \sqrt{x^2+y^2} + ex = l $$

좌변에만 루트를 남기고 양변을 제곱해주면 : $$ x^2+y^2 = l^2-2elx+e^2x^2 $$

변수 \(x\), \(y\)를 좌변으로 넘기면 : $$ (1-e^2)x^2 +2elx +y^2 = l^2 $$

이 식을 타원방정식 형태로 정리해주면 : $$ \begin{aligned} &(1-e^2) \left[ x^2 +2\frac{el}{1-e^2}x +\left( \frac{el}{1-e^2} \right)^2 \right] - (1-e^2) \times \left( \frac{el}{1-e^2} \right)^2 +y^2 = l^2 \\ &\rightarrow (1-e^2) \left[ x+\frac{el}{1-e^2} \right]^2 + y^2 = l^2+ \frac{e^2l^2}{1-e^2} \text{,} \quad \text{R.H.S} = \frac{l^2-l^2e^2}{1-e^2} + \frac{e^2l^2}{1-e^2} = \frac{l^2}{1-e^2} \\ &\rightarrow (1-e^2) \left[ x+\frac{el}{1-e^2} \right]^2 + y^2 = \frac{l^2}{1-e^2} \\ &\rightarrow \frac{(x+\frac{el}{1-e^2})^2}{\frac{l^2}{(1-e^2)^2}} + \frac{y^2}{\frac{l^2}{1-e^2}} = 1 \end{aligned} $$

타원방정식  \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)에서 초점 \(c\)는 \(\sqrt{a^2-b^2}\)이고 이심률 \(e\)는 \(\frac{c}{a}\)이다. 따라서 위 타원방정식의 이심률을 \(e’\)이라 하면 : $$ \begin{aligned} e' &= \frac{c}{a} \\ &= \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \\ &= \sqrt{1- \frac{(1-e^2)^2}{l^2} \times \frac{l^2}{1-e^2} } \\ &= \sqrt{1-(1-e^2)} \\ &= e \end{aligned} $$

따라서 \( r=\frac{l}{1+e \cos{\theta}} \)는 장축의 길이 \(2a\)가 \(\frac{2l}{1-e^2}\)이고 이심률이 \(e\)이며 한 초점을 원점으로 하는 타원이다.

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