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이차함수의 해를 수치적으로 구하는 방법 이차방정식 \( ax^2 + bx + c = 0 \)의 근은 어떻게 구하는가? 아마 거의 모든이들이 그 유명한 ‘근의 공식’을 떠올릴 것이다 : $$ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$ 이는 이론적으로는 정확한 근이다. 하지만 그 정확한 숫자를 알기위해선 다시 계산기를 두들겨야 한다. \( x^2 = 2 \)의 근은 \( \sqrt{2} \)이지만, 근의 공식자체가 \( \sqrt{2} \)의 값을 알려주진 않는것이다. … 그렇다면, 이차방정식의 근을 루트기호 없이 수치적으로 계산하는 방법은 무엇인가? 이차방정식을 약간 색다른 시각으로 바라보자. 이번 포스팅에서는 이차방정식이 두 실근을 가지는 경우만을 고려 할텐데, 이차항의 계수를 1로 통일해도 근의 값은 달라지지 않으.. 더보기
'기후대응도시숲'은 기후변화 대응을 위해 어떤 위해 역할을 하는가? 얼마전 집근처 공원에 ‘기후대응 도시숲’을 조성한다는 현수막이 걸렸고, 매일같이 중장비가 드나드는 대규모 공사가 시작되었다. ‘ … 기후대응? …’ 그것은 어떤 기후를 어떻게 대응한다는건지 알 수 없는 정체불명의 이름으로 느껴졌지만, ‘기후’, ‘환경’같은 단어는 이미 별다른 설명없이도 의미가 통할정도의 유행어가 되었으니 대충 알아듣고 넘어갔다. 산업혁명 이후 인간의 활동으로인한 급격한 기후변화가 진행되고 있다는 것은 과학에 기반하여 확고하게 밝혀진 사실이다[1]. 그것은 인류가 당면한 매우 심각하고도 중요한 문제이고, 많은 이들이 그 긴박성을 느끼며 전지구적인 노력에 함께하고 있다. 하지만 중병에 걸린 사람이라해서 진단없이 아무 약이나 먹을 수 없듯, 지구와 기후를 위한다는 명분만 내세운다해서 아무 일.. 더보기
tetration 표현법에 대한 제안 \(2^3\)은 ‘2의 3승’이라 읽는다[1]. 그런데 \(_{}^{3}\textrm{2}\)은 어떻게 읽는가? \(_{}^{3}\textrm{2}\)는 지수형태로 나타내면 \(2^{2^{2}}\)이며, 이렇게 지수 위에 지수를 쌓는 형태의 연산을 ‘tetration’이라 한다. tetration은 ‘이런 연산도 있다’는 정도로 설명 할 때 말고는 쓰이는 경우가 거의 없는데, 그래서 그런지 그에대한 명명법 또한 잘 정립되어있지 않는것 같다. 예를들어 한글 위키피디아 설명을 따르자면, \(_{}^{3}\textrm{2}\)은 ‘2의 3번째 테트레이션’이라 읽는다. \(2^3\)를 ‘2의 3번째 지수연산’이라고 읽는다 생각해보라 — 이는 너무나 길고 비효율적인 표현방법인 것이다. 뿐만아니라 tetration.. 더보기
미분행렬 \(D\)에 대한 몇가지 연구주제 미분연산자 \( \frac{d}{dx} \)를 행렬처럼 다룬다는 사실은 양자역학을 공부하는 내내 떨쳐지지 않는 불편함으로 남아있었다. 그 누가 시킨것도 아니요 그것이 시험에 나올일도 없었지만, 그 불편함은 나를 긴 고민으로 이끌었다. 그리고 그 끝에 나는 그것이 정말로 행렬형태로 표현 될 수 있다는 사실을 알게되었다. 또한 그렇게 행렬로 표현된 미분연산자의 성질은 교과서에 기술된 그것과 정확히 일치했고, 양자역학의 위치-운동량 commutation relation \( [x,p]=i\hbar \) 까지 정확히 만족했다. 그 과정에 쓰인 수학적내용은 고등학교서 배우는 기본적인 미분개념이었지만, 미분연산자를 그렇게 \( n \times n \) 행렬로 나타내는 문헌은 내가 아는한 없다. 세상에 존재하지 않는.. 더보기
첨성대는 천문대인가? ‘첨성대는 천문대인가?’ … 여지껏 나는 이것이 타당한 질문이 될 수 있는지조차 의심해본적 없다. ‘첨성대는 신라시대에 천체관측을 목적으로 세워진 건축물이다’ — 나는 기억도 못할 어릴적부터 이것을 의심의 여지없는 사실로 교육받았던 것이다. 하지만 최근 여러 관련자료들을 접하면서, 그에 대한 근본적인 의구심이 생겼다. 2011년 4월 7일 한국천문연구원 홈페이지에는 ‘첨성대는 천문대였다’는 제목의 보도자료가 게시되었다. 한국천문연구원 김봉규 박사가 여러 고문헌을 분석한 결과 신라 첨성대가 천문대였다는 ‘결정적 증거’를 찾았다는 것이다. 와 에는 7세기 중반부터 약 100년에 걸쳐 유성관측에 대한 다섯건의 기록이 있는데, 그 기록이 가리키는 장소가 모두 첨성대를 중심으로 1km 반경 내에 위치해 있다고 한.. 더보기
다큐리뷰 | ⟪The Whole History of the Earth and Life⟫ 예전에 봤던 다큐멘터리 하나를 소개하려 한다 : 이 영상을 처음 본건 아마 2020년초 였던걸로 기억한다. 대단히 감명깊게 봤었는데, 당시엔 업로드된지 수개월 정도밖에 되지 않았고 조회수도 그렇게 높지 않았던것같다. 하지만 2023년 8월 기준 위 동영상 조회수는 무려 1,600만회가 넘는다. ⟪The Whole History of the Earth and Life⟫ 이하 ⟪WHEL⟫가 내게 준 임팩트는 매우 입체적이었다. 우선 시각화 기술이 압권이었다. 지구와 우주와 생명에 대한 매우 사실적인 3D 애니메이션 — 태양계의 형성, 달과 지구의 충돌, 고생물과 세포내부에 대한 시각화 등 그 모든 장면 하나하나에 녹아있는 테크닉은 정말 엄청나게 느껴졌다. 좋은 테크닉이 반드시 좋은 장면을 보장하진 않지만, .. 더보기
지구공전궤도 이심률을 계산하는 놀랍도록 간단한 방법 (2) 지난 포스팅에서 필자는 봄여름과 가을겨울간에 6~7일 정도의 차이가 있다는 사실을 통해 지구공전궤도의 이심률을 계산했다. 당시 글을 쓰며 들었던 한가지 의문이 있었는데, 그에관해 생각하던 중 새로운 사실들을 알게되어 후속 포스팅을 쓴다. 계절길이를 통한 계산에서 가장 의문스러웠던 부분은 봄-여름과 가을-겨울사이의 비대칭이었다. 우선 4계절의 길이가 어떻게 되는지 살펴보자 : 봄 : 92.74일 / 여름 : 93.66일 가을 : 89.86일 /겨울 : 88.98일 지난 포스팅 방법대로 계산하면 : \( e=\frac{\pi}{4}\frac{T_2-T_1}{T_2+T_1} \simeq 0.0163 \). 이는 실제지구 공전궤도 이심률 0.0167 과 매우 유사하다. 이 계산은 ‘케플러 법칙’이라는 확고한 이.. 더보기
세상에서 가장 아름다운 수식 이해해보자 (이과용) ‘세상에서 가장 아름다운 수식’은 무엇일까? 그림이나 문학작품이 아름답다면 모를까, 수식이 아름답다니 …. 혹시나 독자께서 수포자였다면 도대체 수식에 어떤 아름다움이 있을지 의아스러울 수도 있겠다. 하지만 일반적으로 인정하는 ‘가장 아름다운 수식’은 분명 존재한다. 지금 구글검색 창에다 ‘the most beautiful equation’을 검색해보자 : 그것은 바로 ‘Euler’s Identity’ — 즉, ‘오일러 등식’이라고 불뤼우는 식이다 : $$e^{i\pi}+1=0$$ 왜 아름답다고 하는가? 이 식을 아름답다 느끼는 이유는, 아마 수학에 있어 매우 중요한 다섯가지 기본수 ‘\(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\)’이 모여 놀랍도록 간단명료한 수식을 만들어내기 때문일 것이.. 더보기

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